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Valores e Vetores Próprios de uma Matriz

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Polinómio Característico de uma Matriz

Definição

O polinómio característico de uma matriz AA pode ser obtido através de

det⁡(A−λI)\det (A - \lambda I)

em que II é a matriz identidade e λ\lambda um escalar.

Por exemplo, para determinar o polinómio característico de

A=[5−131]A = \begin{bmatrix} 5 & -1\\ 3 & 1 \end{bmatrix}

começamos por calcular

det⁡(A−λI)=∣5−λ−131−λ∣=(5−λ)(1−λ)+3\det (A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 5 - \lambda & -1\\ 3 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = (5 - \lambda)(1 - \lambda) + 3

Podemos ainda fatorizar o polinómio, de forma a simplificar a descoberta dos valores próprios da matriz.

(5−λ)(1−λ)+3=(λ−2)(λ−4)(5 - \lambda)(1 - \lambda) + 3 = (\lambda-2)(\lambda-4)

Valores Próprios de uma Matriz

Definição

Um escalar λ∈R\lambda \in \R é um valor próprio de AA se existir um vetor não nulo vv tal que

Av=λVAv = \lambda V

No entanto, sabe-se também que os valores próprios de uma matriz são as raízes do seu polinómio característico.

Continuando então com o exemplo anterior, os valores próprios da matriz

A=[5−131]A = \begin{bmatrix} 5 & -1\\ 3 & 1 \end{bmatrix}

vão ser as raízes de (λ−2)(λ−4)(\lambda-2)(\lambda-4), que são

λ=2λ=4\begin{darray}{c} \lambda = 2 & \lambda = 4 \end{darray}

Vetores Próprios de uma Matriz

Definição

Um vetor não nulo vv é um vetor próprio de AA se existir um escalar λ∈R\lambda \in \R tal que

Av=λVAv = \lambda V

Outra forma de calcular o vetores próprios de uma matriz é através do espaço nulo de A−λIA - \lambda I.

Continuando então com o exemplo acima, fazemos o seguinte para cada um dos valores próprios:

  • Para λ=2\lambda = 2:

    Temos então que

    A−2I=[3−13−1]A - 2I = \begin{bmatrix} 3 & -1\\ 3 & -1 \end{bmatrix}

    Então, os vetores próprios são os vetores que pertencem ao espaço nulo da matriz:

    Nul⁡[3−13−1]=L{(1,3)}\operatorname{Nul} \begin{bmatrix} 3 & -1\\ 3 & -1 \end{bmatrix} = \mathcal{L} \{(1,3)\}

    Assim, o vetor próprio do valor próprio λ=2\lambda = 2 é (1,3)(1,3).

  • Para λ=4\lambda = 4:

    Temos então que

    A−4I=[1−13−3]A - 4I = \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 3 & -3 \end{bmatrix}

    Então, os vetores próprios são os vetores que pertencem ao espaço nulo da matriz:

    Nul⁡[1−13−3]=L{(1,1)}\operatorname{Nul} \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 3 & -3 \end{bmatrix} = \mathcal{L} \{(1,1)\}

    Assim, o vetor próprio do valor próprio λ=4\lambda = 4 é (1,1)(1,1).

Assim temos que os vetores próprios de AA são (1,3)(1,3) (λ=2\lambda = 2) e (1,1)(1,1) (λ=4\lambda = 4).