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Regra de Cauchy

É recomendada a visualização do seguinte vídeo, como suporte aos resumos:

Teorema de Cauchy

Sejam ff e gg duas funções regulares no intervalo [a,b][a,b] tais que g′(x)≠0g'(x)\ne0 para x∈]a,b[x\in]a,b[. Então, existe c∈]a,b[c\in ]a,b[ tal que:

f′(c)g′(c)=f(a)−f(b)g(a)−g(b)\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}

É de notar que este teorema se obtém a partir do Teorema de Lagrange, visto que, se considerarmos g(x)=xg(x)=x obtemos:

f′(c)(c)′=f(a)−f(b)a−b  ⟺  f′(c)=f(a)−f(b)a−b\frac{f'(c)}{(c)'}=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}\iff f'(c)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}

Semi-vizinhança

O conceito de semi-vizinhança já tinha sido definido, mas agora define-se com mais rigor:

Seja a∈Ra\in\R.

Define-se uma semi-vizinhança direita de aa com raio r∈R+r\in\R^+ como sendo o intervalo:

Vrd(a)=[a,a+r[V_r^d(a)=[a,a+r[

No caso de a=−∞a=-\infin a vizinhança direita de raio rr define-se como sendo:

Vrd(−∞)=Vr(−∞)V_r^d(-\infin)=V_r(-\infin)

Define-se uma semi-vizinhança esquerda de aa com raio r∈R+r\in\R^+ como sendo o intervalo:

Vre(a)=]a−r,a]V_r^e(a)=]a-r,a]

No caso de a=+∞a=+\infin a vizinhança esquerda de raio rr define-se como sendo:

Vre(+∞)=Vr(+∞)V_r^e(+\infin)=V_r(+\infin)

Note-se que não existem semi-vizinhanças esquerdas de −∞-\infin nem semi-vizinhanças direitas de +∞+\infin.

Regra de Cauchy (ou Regra de L'Hôpital)

Sejam a∈R∪{−∞}a\in\R\cup \{-\infin\} e ff e gg definidas e diferenciáveis no interior de uma semi-vizinhança direita de aa tais que g′(x)≠0g'(x)\ne 0 para qualquer xx no interior dessa semi-vizinhança.

Se

f(a+)=g(a+)=0ou∣f(a+)∣=∣g(a+)∣=+∞f(a^+)=g(a^+)=0\quad\text{ou}\quad |f(a^+)|=|g(a^+)|=+\infin

e existe o limite

lim⁡x→a+f′(x)g′(x)=L∈R‾\lim_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L\in\overline \R

então existe o limite de fg\frac f g em aa à direita e

lim⁡x→a+f(x)g(x)=L\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=L

O mesmo aplica-se para o limite à esquerda.

👉 É de salientar que em aa, o valor de g′(a)g'(a) pode ser nulo, apenas na semi-vizinhança é que não pode ser.

warning

Esta regra existe várias condições. Caso o limite lim⁡x→a+f′(x)g′(x)=L∈R‾\lim_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L\in\overline \R não exista, nada de pode concluir sobre o limite em estudo.

Regra de Cauchy para limites não laterais

Existe um corolário da Regra de Cauchy que permite calcular limites não laterais

Seja a∈Ra\in\R e ff e gg diferenciáveis em Vr(a)\{a}V_r(a)\backslash \{a\}, para algum r∈R+r\in\R^+, tais que g′(x)≠0g'(x)\ne 0 para x∈Vr(a)\{a}x\in V_r(a)\backslash\{a\}.

Então, se:

lim⁡x→af(x)=lim⁡x→ag(x)=0oulim⁡x→a∣f(x)∣=lim⁡x→a∣g(x)∣=+∞\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0\quad\text{ou}\quad\lim_{x\to a} |f(x)|=\lim_{x\to a}|g(x)|=+\infin

e existe o limite

lim⁡x→af′(x)g′(x)=L∈R‾\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L\in\overline \R

então o limite de fg\frac fg em aa existe e

lim⁡x→af(x)g(x)=L.\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=L.
Aplicação da Regra de Cauchy

Exemplo 1

Comece-se pelo cálculo do limite

lim⁡x→0+cosx−1x2.\lim_{x\to 0^+} \frac{cos x − 1}{x^2}.

Facilmente se verifica que as funções f(x)=cosx−1 e g(x)=x2f(x) = cos x − 1 \text{ e } g(x) = x^2 satisfazem os requisitos de regularidade do teorema já que ambas são diferenciáveis em R\R e a derivada de gg só se anula em 0. Na verdade, estes requisitos são, quase sempre, imediatamente verificados pelo que não são, geralmente, referidos no cálculo, desde que cumpridos. Também os requisitos dos limites de ff e gg são cumpridos já que

lim⁡x→0+(cosx−1)=0elim⁡x→0+x2=0.\lim_{x\to 0^+} (cos x − 1) = 0 \quad \text{e}\quad \lim_{x\to 0^+} x^2 = 0.

Falta, portanto verificar se o limite do quociente das derivadas existe. Tem-se

lim⁡x→0+(cosx−1)′(x2)′=lim⁡x→0+−senx2x=−12lim⁡x→0+senxx=−12.\lim_ {x\to 0^+} \frac{(cos x - 1)'}{(x^2)'} = \lim_{x\to 0^+} \frac{- sen x}{2x} = − \frac{1}{2} \lim_{x\to 0^+} \frac{sen x}{x} = - \frac{1}{2}.

Como também esta condição é verificada, vem que

lim⁡x→0+cosx−1x2=−12.\lim_{x\to 0^+} \frac{cos x − 1}{x^2} = - \frac{1}{2}.

Exemplo 2

Seguidamente estuda-se um caso em que a Regra de Cauchy é aplicada sucessivamente. Considere-se, então, o caso do limite

lim⁡x→0ex−1−x−x22x3\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{x^3}

Novamente, as condições sobre a regularidade e os limites das duas funções são trivialmente verificadas, já que se trata de uma indeterminação 00\frac{0}{0}. Falta, portanto, verificar a condição sobre o limite do quociente das derivadas. Calculando esse limite obtém-se

lim⁡x→0(ex−1−x−x22)′(x3)′=lim⁡x→0ex−1−x3x2\lim_{x\to 0} \frac{(e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2})'}{(x^3)'} = \lim_{x \to 0} \frac {e^x - 1 - x}{3 x^2}

que ainda é uma indeterminação do mesmo tipo. Esta situação é bastante diferente do exemplo anterior em que o limite não existia. Apesar de não ser possível, para já, aplicar a Regra de Cauchy, obteve-se um quociente de funções que é uma indeterminação do mesmo tipo, mas com funções mais simples, pois os graus dos polinómios baixaram. As observações anteriores sugerem que se tente aplicar a Regra e Cauchy a este novo limite, na esperança de levantar a indeterminação. Verificam-se sumariamente as restantes condições, já que continua a ser um a indeterminação do mesmo tipo, e tenta-se calcular o limite do quociente das derivadas, vindo

lim⁡x→0(ex−1−x)′(3x2)′=lim⁡x→0ex−16x=16.\lim_{x\to 0} \frac{(e^x - 1 - x)'}{(3 x^2)'} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{6x} = \frac{1}{6}.

Como este último limite existe, pode aplicar-se a Regra e Cauchy para obter o limite

lim⁡x→0ex−1−x3x2=16,\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1 - x}{3 x^2} = \frac{1}{6},

e, como este existe, pode aplicar-se, novamente, a Regra de Cauchy para obter o limite

lim⁡x→0ex−1−x−x22x3=16.\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{ 2}}{x^3} = \frac{1}{6}.

Existem mais alguns exemplos nas páginas 5 a 10 do PDF da aula 16 abaixo.

PDFs: