Série de Fourier, Senos e Cossenos

Série de Fourier

Antes da leitura desta página, recomendo vivamente a visualização do seguinte vídeo, e se possível, de todos os episódios sobre este tema.

A Série de Fourier é uma ferramenta muito útil que nos irá permitir reescrever funções como uma soma (infinita) de senos e cossenos.

A Série de Fourier é periódica, ou seja, podemos limitar-nos a definir a função num intervalo (estendendo essa definição por periodicidade ao resto do domínio). Note-se que isto significa que funções não periódicas não podem ser representadas por uma série de Fourier, mas qualquer restrição de uma função a um intervalo pode. Geralmente, as funções com que trabalharemos são então do tipo $f: [-L, L] \to \R$, em que $L$ corresponde a metade do período da função.

A expressão resultante, $SF_f(x)$ vai corresponder exatamente a $f$ nos pontos em $]-L, L[$ em que $f$ é contínua. Aliás, uma das grandes vantagens da Série de Fourier é a função não precisar de ser contínua, apenas seccionalmente contínua (e ter derivada seccionalmente contínua).

Nos pontos de descontinuidade (e nas "pontas" do intervalo, $-L$ e $L$), a expressão da Série de Fourier equivale ao ponto médio entre os valores da função a vir de ambas as direções. Traduzindo isto para um sistema, obtemos o Teorema da Convergência Pontual da Série de Fourier:

Como já foi referido, a Série de Fourier, $SF_f(x)$ é periódica em $\R$ com período $2L$, ao contrário de $f$ que pode não o ser. Por outro lado, se considerarmos a extensão periódica, $\overline{f}$, de $f|_{]-L, L]}$, isto é, pegarmos no intervalo $]-L, L]$ e "repetirmos" a função com período $2L$, ficamos com a seguinte equivalência:

Mais exemplos

Calcule a Série de Fourier de

$$\begin{darray}{cc} f(x) = x & f: [-\pi, \pi] \end{darray}$$

no intervalo $[-\pi, \pi]$.

Temos então que $L = \pi$, pelo que

$$SF_f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \left( a_n \cos\left(n x\right) + b_n \sin\left(n x\right) \right)$$

Como $x$ é função ímpar e $\cos(nx)$ é função par, o produto de ambas vai resultar numa função ímpar, que está a ser integrada num intervalo simétrico, pelo que:

$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \cos(nx) \d x = 0$$

Mais ainda, visto que $x$ é ímpar, tal como visto mais acima, $a_0 = \int_{-\pi}^{\pi} x \d x = 0$.

Para determinarmos $b_n$, já necessitamos mais cálculos:

$$\begin{aligned} b_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx) \d x\\ &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x\sin(nx) \d x\\ &= \frac{2}{\pi} \left(\left[\frac{-x\cos(nx)}{n}\right]^\pi_0 + \int_{0}^{\pi} \frac{\cos(nx)}{n} \d x\right)\\ &= \frac{2}{\pi} \left(\frac{-\pi\cos(n\pi)}{n}\right) & \cos(n\pi) = (-1)^n\\ &= \frac{-2(-1)^n}{n} \end{aligned}$$

Então, obtemos a expressão da Série de Fourier de $f$:

$$SF_f(x) = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin (n x)$$

Série de Senos

Como já deves ter reparado, se determinarmos a Série de Fourier de uma função ímpar, vamos ter sempre que $a_n \equiv 0$, eliminado os termos com cosseno.
Podemos então fazer uma definição mais explícita neste caso, e até a estender a funções que não são ímpares.

Para isto, ao contrário da Série de Fourier, consideramos apenas um dos "lados" do intervalo simétrico, e efetuamos a extensão ímpar de $f$.

Se repararmos, a Série de Senos de $f$ em $[0,L]$ corresponde à Série de Fourier da sua extensão ímpar a $[-L,L]$, $g(x)$:

Exemplo

Determine a Série de Senos da função $f: [0, 2] \to \R$ definida por

$$f(x) = \begin{cases} 1-x & \text{se } x \in [0, 1[\\ 0 & \text{se } x \in [1, 2] \end{cases}$$

Atendendo ao domínio, temos que, segundo a definição acima, $L = 2$.
Portanto, vamos ter a seguinte expressão para a Série de Senos de $f$:

$$S_{\sin}f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \left(\frac{n\pi x}{2}\right)$$

Podemos agora calcular $b_n$:

$$\begin{aligned} b_n &= \int_{0}^{2} f(x) \sin \left(\frac{n\pi x}{2}\right) \d x\\ &= \int_{0}^{1} (1-x) \sin \left(\frac{n\pi x}{2}\right) \d x\\ &= \int_{0}^{1} \sin \left(\frac{n\pi x}{2}\right) \d x - \int_{0}^{1} x\sin \left(\frac{n\pi x}{2}\right) \d x\\ &= -\frac{2}{n\pi} \left[\cos \left(\frac{n\pi x}{2}\right)\right]_0^1 +\frac{2}{n\pi} \left( \left[x\cos \left(\frac{n\pi x}{2}\right)\right]_0^1 - \int_{0}^{1} \cos \left(\frac{n\pi x}{2}\right) \d x \right)\\ &= -\frac{2}{n\pi} \times (\cos \left(\frac{n\pi}{2}\right)-1) +\frac{2}{n\pi} \left(\cos \left(\frac{n\pi}{2}\right) +\frac{2}{n\pi} \left[\sin \left(\frac{n\pi x}{2}\right)\right]_0^1 \right)\\ &= \frac{2}{n\pi} + \frac{4}{n^2 \pi^2} \sin \left(\frac{n\pi}{2}\right) \end{aligned}$$

Concluímos então que a Série de Senos de $f$ é:

$$S_{\sin} f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{n\pi} + \frac{4}{n^2 \pi^2} \sin \left(\frac{n\pi}{2}\right)\right) \sin \left(\frac{n\pi x}{2}\right)$$

Pelo Teorema da Convergência Pontual das Séries de Fourier, temos que, em $[-2, 2]$,

$$S_{\sin} f(x) = \begin{cases} f(x) & \text{se } x \in ]0, 2]\\ 0 & \text{se } x = 0\\ -f(-x) & \text{se } x \in [-2, 0[ \end{cases}$$

Série de Cossenos

De forma semelhante à Série de Senos, se determinarmos a Série de Fourier de uma função par, vamos ter sempre que $b_n \equiv 0$, eliminado os termos com seno.
Podemos então fazer uma definição mais explícita neste caso, e até a estender a funções que não são pares.

Para isto, ao contrário da Série de Fourier, consideramos apenas um dos "lados" do intervalo simétrico, e efetuamos a extensão par de $f$.

Se repararmos, a Série de Cossenos de $f$ em $[0,L]$ corresponde à Série de Fourier da sua extensão par a $[-L,L]$, $g(x)$:

Exemplo

Determine a Série de Cossenos da função $f: [0, \pi] \to \R$ definida por

$$f(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x \in [0, \frac{\pi}{4}[\\ 1 & \text{se } x \in [\frac{\pi}{4}, \pi] \end{cases}$$

Atendendo ao domínio, temos que, segundo a definição acima, $L = \pi$.
Portanto, vamos ter a seguinte expressão para a Série de Cossenos de $f$:

$$S_{\cos}f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos (nx)$$

Podemos agora calcular $a_n$:

$$\begin{aligned} a_n &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \cos (nx) \d x\\ &= \frac{2}{\pi} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \cos (nx) \d x\\ &= \frac{2}{n \pi} \left[\sin(nx)\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}\\ &= -\frac{2}{n\pi} \sin \left(\frac{n\pi}{4}\right) \end{aligned}$$

sendo que para $n=0$ temos de ter mais cuidado. Nesse caso obtemos

$$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \d x = \frac{2}{\pi} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} 1 \d x = \frac{2}{\pi} \left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3}{2}$$

Concluímos então que a Série de Cossenos de $f$ é:

$$S_{\cos} f(x) = \frac{3}{4} - \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{n\pi} \sin \left(\frac{n\pi}{4}\right) \cos(nx)\right)$$

Pelo Teorema da Convergência Pontual das Séries de Fourier, temos que, em $[-\pi, \pi]$,

$$S_{\cos} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x \in \left]-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]\\ 1 & \text{se } x \in \left[-\pi, -\frac{\pi}{4}\right[ \cup \left]\frac{\pi}{4},\pi\right]\\ \frac{1}{2} & \text{se } x = \pm \frac{\pi}{4} \end{cases}$$

Identidade de Parseval